« faut » ou « vaut » ?

- Faut est la 3e personne du singulier du verbe défectif « falloir », qui indique une nécessité. Suivi de « mieux », ce dernier doit être déplaçable après l'infinitif.

Ex
Il faut mieux faire le ménage pour les invités. > Il faut faire mieux le ménage pour les invités.
Il faut mieux te relire. > Il faut te relire mieux.

- Vaut est la 3e personne du singulier du verbe « valoir », il indique une préférence.

Ex
Il vaut mieux partir à midi qu'à 13 heures.
Il vaut mieux qu'il ne vienne pas.

Dans ce cas, « mieux » peut être déplacé en début de phrase.

Ex
Mieux vaut partir à midi.
Mieux vaut-il qu'il ne vienne pas.